\(x^2-xy=x-3y+2017\)

<=> \(x\left(x-y\right)=\left(3x-3y\right)-2x+2017\)

<=> \(x\left(x-y\right)-3\left(x-y\right)+2x-6=2017-6\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)=2011\)

<=> \(\left(x-3\right)\left(x-y+2\right)=2011\)

Vì x, y nguyên nên x - 3 và x - y + 2 là số nguyên

Có thể xảy ra các TH:

TH1: x -3 =1 ; x -y +2 =2011

<=> x  = 4; y = -2005 tm

TH2: x -3 = 2011; x - y + 2 = 1

Tự tính

TH3 : x -3 =-1; x -y +2 =-2011. Tự tính.

TH4: x - 3 = -2011; x - y + 2 =-1. Tự tính.

Thanks

pt <=> \(4x^4+4x^2+4=4y^2\)

<=> \(4x^2+4x+1+3=4y^2\)

<=> \(\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=3\)

<=> \(\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=3=3.1=-1.-3=1.3=-3.-1\)

Em tự làm tiếp nhé!

Nếu \(x\ge3,y\ge3,z\ge3\)thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1< 2\)

Do vậy trong ba số x,y,z tồn tại ít nhất một số nhỏ hơn 3

Gọi \(x\le y\) , \(x\le z\) thì x < 3 => x = 1 hoặc x = 2

Nếu x = 1 thì y = 2 và z = 2

Nếu x = 2 thì y = 2 và z = 2 không thỏa

Vậy (x,y,z) = (1;2;2) và các hoán vị 

\(x^2-12y^2+xy-x+3y+5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x\left(y-1\right)+\left(3y-12y^2+5\right)=0\)

Xét \(\Delta=\left(y-1\right)^2-4.1.\left(3y-12y^2+5\right)=49y^2-14y-19=\left(7y-1\right)^2-20\ge0\)

Để x nhận giá trị nguyên thì \(\Delta\) là số chính phương.

Suy ra \(\left(7y-1\right)^2-20=k^2\Leftrightarrow\left(7y-k-1\right)\left(7y+k+1\right)=20\)

Xét các trường hợp được y = 1 thỏa mãn.

Khi đó ta suy ra \(x=2\) hoặc \(x=-2\)

Vậy (x;y) = (-2;1) ; (2;1)

Chuyển vế ta được:
y2+2(x6−3x3y−32)=0y2+2(x6−3x3y−32)=0
↔y2−6x3y+(2x6−64)=0<1>↔y2−6x3y+(2x6−64)=0<1>
Nhận thấy coi <1><1> là phương trình bậc hai ẩn yy
Do đó để phương trình có nghiệm và hơn nữa là nghiệm nguyên thì Δ=(6x3)2−4(2x6−64)Δ=(6x3)2−4(2x6−64) phải chính phương
Do đó đặt x3=kx3=k và (6x3)2−4(2x6−64)=q2(6x3)2−4(2x6−64)=q2
Như vậy 36k2−8k2+256=q2→28k2+256=q2→2|q→q=2t→7k2+64=t236k2−8k2+256=q2→28k2+256=q2→2|q→q=2t→7k2+64=t2
Nếu tt lẻ thì kk lẻ do đó 7k2+64≡3(mod4)→t2≡3(mod4)7k2+64≡3(mod4)→t2≡3(mod4) vô lý do số chính phương chia 44 dư 0,10,1
Như vậy tt chẵn nên kk chẵn và t=2b,k=2a→7a2+16=b2t=2b,k=2a→7a2+16=b2
Lập luận tương tự cũng cób,ab,a chẵn nên a=2m,b=2n→7m2+4=n2a=2m,b=2n→7m2+4=n2
Lập luận tương tự một lần nữa có m,nm,n chẵn nên m=2p,n=2q→7p2+1=q2<2>m=2p,n=2q→7p2+1=q2<2>
Tổng hợp các phương trình trên có k=8p,t=8qk=8p,t=8q như vậy x3=8p→2|x→x=2s→s3=px3=8p→2|x→x=2s→s3=p
Khi ấy bài này trở thành 7s6+1=q27s6+1=q2 

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-1\). rồi xét TH.

làm chi rồi xét TH vậy bạn